Kreivumas

Kreivumas – bendras pavadinimas kiekybinių charakteristikų, nusakančių geometrinių objektų (kreivių, paviršių ir pan.) santykinį skirtumą nuo „plokščių“ ar „tiesių“ jų atitikmenų (tiesės, plokštumos ir pan.). Dažniausiai kreivumas apibrėžiamas kiekvienam objekto taškui.

Kreivis – kreivumo skaitinė reikšmė.

Plokštumos kreivės kreivumas

Kreivė C ir jos kreivio apskritimas taške P

Plokštumos kreivės kreivumas taške P(x₀, y₀) yra dydis, atvirkščias kreivio apskritimo spinduliui tame taške. Jei kreivė Dekarto koordinačių sistemoje nusakyta lygtimi y = f(x), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

$\kappa (x,y)=\frac{y^{″}}{(1+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}.$

Tokiu atveju neretai naudojama aproksimacija:

$\kappa (x,y)\approx \frac{d^{2}y}{d{x}^2}.$

Jei kreivė nusakoma parametrinėmis lygtimis x = p(t), y = r(t), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

$\kappa (x,y)=\frac{x^{\prime }{y}^{″}-y^{\prime }{x}^{″}}{(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}.$

Paviršių kreivumas

Paviršiai su neigiamu (kairėje), nuliniu (centre) ir teigiamu (dešinėje) kreivumu.

Tarkime, kad $\mathrm{\Phi }$ yra glodus paviršius trimatėje euklidinėje erdvėje. Tegu $p$ – taškas paviršiuje $\mathrm{\Phi }$, $T_p$ – $\mathrm{\Phi }$ liečiančioji plokštuma taške $p$, $n$ – vienetinis normalinis vektorius (normalė) $\mathrm{\Phi }$ taške $p$, o ${\pi }_e$ – plokštuma einanti per $n$ ir vektorių $e$, esantį $T_p$. Kreivė ${\gamma }_e$, gaunama kertantis plokštumai ${\pi }_e$ su nagrinėjamu paviršiumi $\mathrm{\Phi }$, yra vadinama $\mathrm{\Phi }$ pjūviu taške $p$ vektoriaus $e$ kryptimi. Skaliarinis dydis ${\kappa }_e$ yra normalinis paviršiaus $\mathrm{\Phi }$ kreivumas $e$ kryptimi

${\kappa }_e=k\cdot n$

Čia $\cdot$ reiškia skaliarinę sandaugą, $k$ – kreivumo vektorius ${\gamma }_e$ taške $p$.

Bendru atveju, kiekviename paviršiaus taške yra dvi statmenos kryptys $e_1$ ir $e_2$, kuriomis kreivumas yra didžiausias ir mažiausias. Šios kryptys vadinamos pagrindinėmis arba normalinėmis. Kreivumą bet kokia kryptimi galima aprašyti Oilerio formule:

${\kappa }_e={\kappa }_1{\cos }^2\alpha +{\kappa }_2{\sin }^2\alpha$,

kur $\alpha$ – kampas tarp krypties ir $e_1$, o ${\kappa }_1$ ir ${\kappa }_2$ yra normaliniai kreivumai $e_1$ ir $e_2$ kryptimis.

Galimi ir kitokie kreivumo apibrėžimai:

$H={\kappa }_1+{\kappa }_2$, (kartais $\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2}{2}$)

yra vadinamas vidutiniu paviršiaus kreivumu. O dydis

$K={\kappa }_1{\kappa }_2$

yra vadinamas paviršiaus Gauso kreivumas.