Mi sklaida

Smogas Šanchajuje – vienas iš Mi sklaidos pavyzdžių.

Mi sklaida, taip pat žinoma kaip Lorenco Mi teorija arba Lorenco Mi Debajaus teorija – šviesos sklaida, tiksliai aprašoma analitiniu Maksvelo lygčių sprendiniu. Tai tiksliausia sklaidos teorija, tinkanti elektromagnetinės spinduliuotės sklaidai sferinėmis dalelėmis aprašyti. Mi sprendiniai pirmą kartą buvo aprašyti vokiečių fiziko Gustavo Mi (Gustav Mie). Tačiau danų fizikas Liudvigas Lorencas (Ludvig Lorenz) ir kiti mokslininkai yra nepriklausomai išvystę elektromagnetinės plokščios bangos sklaidos dielektriniu rutuliu teoriją.

Šiuo metu, terminas „Mi sklaida“ yra fizikoje vartojamas platesniame kontekste, pavyzdžiui, aprašant Maksvelo lygties sprendinius sklaidai nuo sferų rinkinių, cilindrų arba kitų objektų, kurių forma gali būti aprašyta paprastomis geometrinėmis formulėmis, o uždavinio sprendimo metu gali būti pasinaudota kintamųjų atskyrimo metodu.

Priešingai negu Relėjaus sklaida, Mi sklaidos sprendiniai yra tikslūs visiems įmanomiems santykiams tarp sferos diametro ir krentančios spinduliuotės bangos ilgio, nors skaitmeniniu požiūriu tai yra begalinės sumos sumavimo uždavinys. Savo originalioje formuluotėje teorija buvo vystoma sferai iš homogeninės, izotropinės ir tiesinės medžiagos, kuri yra apšviečiama begaline plokščia banga. Tačiau sprendinio paieškos metodika yra sėkmingai taikoma ir optiniams pluoštams bei sluoksniuotoms sferoms.

Mi sklaidos teorija yra ypač svarbi meteorologinėje optikoje, kur vandens lašų matmenų santykiai su bangos ilgiais yra vienetų eilės ir didesni, o nagrinėjamos įvairios problemos susijusios su debesų, rūko ir kitų dalelių sąveika su šviesa. Naujausias praktinis taikymas yra susijęs su aerozolio dalelių (smogas) charakterizavimu optiniais metodais. Mi teorija taip pat sėkmingai taikoma naftos produktų detekcijai užterštuose vandenyse.

Šviesos sklaidos sferinės metalinės dalelės paviršiuje pavyzdis. Mažoms dalelėms vyksta Relėjaus sklaida, kuomet daugiausia šviesos išsklaidoma į priekį ir atgal. Dalelės matmenims didėjant, matome atsirandantį Mie sklaidos metu kryptingumą.

Teorinis pagrindimas

Mi sklaidos teorijoje, į dalelę krentantis elektromagnetinis laukas (indeksas i), elektromagnetinis laukas susidaręs dalelėje (indeksas p) bei išsklaidytas elektomagnetinis laukas (indeksas s) yra išreiškiami per vektorines sferines harmonikas ${𝐌}_{mn}^{(1,3)}(𝐑,k)$ ir ${𝐍}_{mn}^{(1,3)}(𝐑,k)$, kurių tiksli išraiška yra

${𝐌}_{mn}^{(1,3)}(𝐑,k)={𝐞}_{\theta }\frac{m}{\sin \theta }{z}_n(kR)P_n^m(\cos \theta )\exp (im\varphi )-{𝐞}_{\varphi }{z}_n(kR)\frac{\partial P_n^m(\cos \theta )}{\partial \theta }\exp (im\varphi )$

${𝐍}_{mn}^{(1,3)}(𝐑,k)={𝐞}_{R}n(n+1)\frac{z_n(kR)}{kR}{P}_n^m(\cos \theta )\exp (im\varphi )+{𝐞}_{\theta }\frac{\partial [kR{z}_n(kR)]}{kR\partial R}\frac{\partial P_n^m(\cos \theta )}{\partial \theta }\exp (im\varphi )+{𝐞}_{\varphi }\frac{m}{\sin \theta }\frac{\partial [kR{z}_n(kR)]}{kR\partial R}{P}_n^m(\cos \theta )\exp (im\varphi )$

kur ${𝐞}_R$, ${𝐞}_{\theta }$ ir ${𝐞}_{\varphi }$ yra sferinės koordinačių sistemos vienetiniai vektoriai, skaičius (1) atitinka sferinę Beselio funkcija $j_n$, o skaičius skliaustuose 3 pažymi pirmos eilės sferinę Hankelio funkciją $h_n^{(1)}$. Apibendrintas sferinės Beselio funkcijos žymėjimas $z_n$ lygtyse yra pakeičiamas atitinkamai į $j_n$ arba $h_n^{(1)}$. Kuomet sveikas skaičius $n=1$, šios vektorinės sferinės harmonikos aprašo magnetinį ir elektrinį dipolius, atitinkamai. Sveikas skaičius m aprašo dipolių orientaciją erdvėje. Funkciją $P_n^m$ yra apibendrintas Ležandro polinomas.

Krentanti iš terpės su lūžio rodiklio $n_m$ šviesa yra išreiškiama lygtimi

${𝐄}_{\text{i}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-n}^n[A_{mn}{𝐌}_{mn}^{(1)}(𝐑,k_m)+B_{mn}{𝐍}_{mn}^{(1)}(𝐑,k_m)]$

čia R yra atstumo vektorius nuo sferinės koordinačių sistemos centro iki nagrinėjamo taško, R – šio vektoriaus ilgis, $\theta$ ir $\varphi$ yra atitinkamai meridianinis ir azimutinis kampai. Sveiki skaičiai m ir n nusako sferinės vektorinės harmonikos eilę. Koeficientai $A_{mn}$ ir $B_{mn}$ aprašo krentančios šviesos lauką ir yra dalelę apšviečiančio optinio pluošto elektrinio lauko skleidinio vektorinėmis sferinėmis harmonikomis koeficientai. Spindulio $R_{sf}$ dalelėje, kurios lūžio rodiklis yra $n_{sp}$, indukuotą šviesą aprašo formulė

${𝐄}_{\text{p}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-n}^n[{\gamma }_n{A}_{mn}{𝐌}_{mn}^{(1)}(𝐑,k_{sp})+{\delta }_n{B}_{mn}{𝐍}_{mn}^{(1)}(𝐑,k_{sp})]$,

o išsklaidytą šviesą lygtis

${𝐄}_{\text{s}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-n}^n[{\alpha }_n{A}_{mn}{𝐌}_{mn}^{(3)}(𝐑,k_m)+{\beta }_n{B}_{mn}{𝐍}_{mn}^{(3)}(𝐑,k_m)]$

Paskutinėse dviejose lygtyse atsiradę koeficientai ${\alpha }_n$, ${\beta }_n$, ${\gamma }_n$ ir ${\delta }_n$ Mi sklaidos teorijoje nusako sferinės dalelės atsaką į ją žadinantį lauką. Sferinė harmonika ${𝐌}_{mn}^{(1,3)}(𝐑,k_m)$ aprašo magnetinius multipolius, o sferinė harmonika ${𝐍}_{mn}^{(1,3)}(𝐑,k_m)$ – elektrinius. Tokiu būdu, ${\alpha }_n$ ir ${\gamma }_n$ nusako kaip sferinė dalelė reaguoja į magnetinius multipolius, o koeficientai ${\beta }_n$ ir ${\delta }_n$ – į elektrinius. Koeficientų ${\alpha }_n$, ${\beta }_n$, ${\gamma }_n$ ir ${\delta }_n$ vertės yra randamos pritaikius elektrinio ir magnetinio laukų tolydumo sąlygas ties dalelės paviršiumi

${\alpha }_n=\frac{j_n\left({\rho }_1\right)\left[\rho j_n\left(\rho \right)\right]-j_n\left(\rho \right)\left[{\rho }_1{j}_n\left({\rho }_1\right)\right]}{h_n^{(1)}\left(\rho \right)\left[{\rho }_1{j}_n\left({\rho }_1\right)\right]-j_n\left({\rho }_1\right)\left[\rho h_n^{(1)}\left(\rho \right)\right]},$

${\beta }_n=\frac{j_n\left(\rho \right)\left[{\rho }_1{j}_n\left({\rho }_1\right)\right]-n_r^2{j}_n\left({\rho }_1\right)\left[\rho j_n\left(\rho \right)\right]}{n_r^2{j}_n\left({\rho }_1\right)\left[\rho h_n^{(1)}\left(\rho \right)\right]-h_n^{(1)}\left(\rho \right)\left[{\rho }_1{j}_n\left({\rho }_1\right)\right]},$

${\gamma }_n=\frac{h_n^{(1)}\left(\rho \right)\left[\rho j_n\left(\rho \right)\right]-j_n\left(\rho \right)\left[\rho h_n^{(1)}\left(\rho \right)\right]}{h_n^{(1)}\left(\rho \right)\left[{\rho }_1{j}_n\left({\rho }_1\right)\right]-j_n\left({\rho }_1\right)\left[\rho h_n^{(1)}\left(\rho \right)\right]},$

${\delta }_n=\frac{n_r{j}_n\left(\rho \right)\left[\rho h_n^{(1)}\left(\rho \right)\right]-n_r{h}_n^{(1)}\left(\rho \right)\left[\rho j_n\left(\rho \right)\right]}{n_r^2{j}_n\left({\rho }_1\right)\left[\rho h_n^{(1)}\left(\rho \right)\right]-h_n^{(1)}\left(\rho \right)\left[{\rho }_1{j}_n\left({\rho }_1\right)\right]}$

Šiuose lygtyse įvesti sekantys žymėjimai $\rho =k_m{R}_{sf}$ ir ${\rho }_1=(n_{sp}/n_m)\rho =n_r\rho$, funkcijos $j_n$ ir $h_n^{(1)}$ yra sferinės Beselio funkcijos, o apostrofas reiškia išvestinę pagal kintamąjį skliaustuose.

Dalelės išsklaidytos šviesos kiekis yra randamas suintegravus Pointingo vektoriaus radialinę dalį sferos paviršiumi, kurios viduje yra patalpinta dalelė. Po šios operacijos yra gaunama begalinė suma dalelės išsklaidytai energijai $W_s$ ir prarastai $W_e$

$W_s=\frac{\pi }{k^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-n}^n\frac{2n(n+1)}{2n+1}\frac{(n+m)!}{(n-m)!}[\mathrm{R}\mathrm{e}{\alpha }_n{\left|A_{mn}\right|}^2+\mathrm{R}\mathrm{e}{\beta }_n{\left|B_{mn}\right|}^2]$

$W_e=\frac{\pi }{k^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-n}^n\frac{2n(n+1)}{2n+1}\frac{(n+m)!}{(n-m)!}[{\left|{\alpha }_n\right|}^2{\left|A_{mn}\right|}^2+{\left|{\beta }_n\right|}^2{\left|B_{mn}\right|}^2]$

Kaip matome, sprendiniai yra aprašomi begalinėmis sumomis, sudarytomis iš narių, atitinkančių skirtingų eilių magnetinius ir elektrinius multipolius, dėl šios priežasties Mi sklaidos metodai yra neparankūs stambių dalelių nagrinėjimui, tačiau dažnai taikomi vidutinio dydžio dalelių sklaidai aprašyti.

Taip pat skaitykite

• Difrakcija
• Dispersija
• Relėjaus sklaida
• Šviesos sklaida