Natūrinis logaritmas

ln(x)

Natūrinis logaritmas – logaritmas, kurio pagrindas yra iracionalusis skaičius e, kurio apytikslė reikšmė yra $2,718281828459$. Žymima log_e(x) arba tiesiog ln(a).

Skaičiaus x natūrinis logaritmas yra laipsnio rodiklis (eksponentė) y: e^y = x.

$\ln x=y⟺e^y=x$

Pavyzdžiui:

• Skaičiaus e⁵ natūrinis logaritmas yra 5,
• Skaičiaus e natūrinis logaritmas yra 1, nes e¹ = e,
• Skaičiaus 1 natūrinis logaritmas yra 0, nes e⁰ = 1.

Natūrinis logaritmas yra eksponentinės funkcijos atvirkštinė funkcija.

Natūrinis logaritmas apibrėžiamas visiems teigiamiems realiesiems skaičiams x ir taip pat gali būti apibrėžiamas nenuliniams kompleksiniams skaičiams. Kartais ši funkcija vadinama Neperio logaritmu, nes pirmasis ją panaudojo Džonas Neperis.

Apibrėžimai

Formaliai ln(a) gali būti apibrėžta kaip 1/x funkcijos grafiko ribojamas plotas (integralas) intervale nuo 1 iki a:

$\ln (a)=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx.$

Savybės

• $\ln (1)=0$
• $\ln (e)=1$
• $\ln (xy)=\ln (x)+\ln (y),\text{kai}x>0,y>0$
• $\ln (x)<\ln (y)\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{i}y>x>0$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
• $\ln (x^y)=y\ln (x)\text{kai}x>0$
• $\frac{x-1}{x}\le \ln (x)\le x-1\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{i}x>0$
• $\ln (1+x^{\alpha })\le \alpha x\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{i}x\ge 0,\alpha \ge 1$
• $\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{1}{x}.$