e (skaičius)

e – matematinė konstanta (arba Oilerio skaičius) yra natūralaus logaritmo funkcijos pagrindas, kurio apytikslė reikšmė yra:

$e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995\dots$

Kartu su skaičiumi π ir menamuoju vienetu i, e yra viena iš svarbiausių matematinių konstantų.

Skaičių e 1736 m. įvedė šveicarų matematikas Leonardas Oileris. Jis taip pat kartais vadinamas Neperio konstanta, škotų matematiko Džono Neperio garbei, kuris pirmasis sukūrė logaritmų lenteles.

Tai, kad skaičius e transcendentiškas 1873 m. įrodė Šarlis Hermitas.

Apibrėžimai

Pateikiami trys labiausiai paplitę e apibrėžimai:

1. Naudojantis sekos ${(1+\frac{1}{n})}^n$ ribos apibrėžimu:

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$

2. Kaip šios begalinės eilutės suma:

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots$

kai n! yra natūraliojo skaičiaus n faktorialas

3. Arba apibrėžiant e kaip unikalų skaičių x > 0, tokį kad:

$\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t}dt=1$

arba

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{t}dt=\ln t{|}_0^e=\ln e-\ln 1=1-0=1.$

Savybės

Skaičius e yra eksponentinės funkcijos $e^x$ pagrindas, kuri dar žymima kaip $\exp (x)$. Natūrinis logaritmas $\ln (x)$ yra atvirkštinė funkcija eksponentinei:

$y=e^x\iff x=\ln (y)$

Eksponentinė funkcija $e^x$ yra svarbi, nes tai vienintelė funkcija, kurios išvestinė lygi jai pačiai. Tai yra: $(e^x{)}^{\prime }=(x{)}^{\prime }{e}^x$.

Įrodyta, kad e yra iracionalusis bei transcendentinis skaičius, numanoma, kad jis taip pat yra ir normalusis skaičius, tačiau tai dar nėra įrodyta. e taip pat figuruoja Oilerio formulėje, vienoje svarbiausių lygybių matematikoje:

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$

O specialus atvejis, kai x = π yra žinomas kaip Oilerio formulė:

$e^{i\pi }+1=0$

Ši formulė vadinama viena įspūdingiausių, nes sujungia penkias pamatinėmis atrodančias matematines konstantas (e, i, π, 1 ir 0).