Paulio matricos

Paulio matricos – trys 2x2 kompleksinės ermito ir unitariosios matricos. Paprastai žymimos graikiška raide 'sigma' (σ), retkarčiais – 'tau' (τ). Naudojamos aprašyti izotopinio sukinio simetrijas. Jos yra:

${\sigma }_1={\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_2={\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_3={\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

Pavadintos žymaus austrų fiziko Volfgango Paulio vardu.

Algebrinės savybės

${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }_3^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

kur I yra vienetinė matrica.

Paulio matricų determinantas ir pėdsakas (diagonaliųjų narių suma) yra:

$\begin{array}{cccc}\det ({\sigma }_i)& =& -1& \\ \mathrm{Tr}({\sigma }_i)& =& 0,& i=1,2,3\end{array}$

Komutatyvumo sąryšiai

${\sigma }_1{\sigma }_2=i{\sigma }_3$

${\sigma }_3{\sigma }_1=i{\sigma }_2$

${\sigma }_2{\sigma }_3=i{\sigma }_1$

${\sigma }_i{\sigma }_j=-{\sigma }_j{\sigma }_i,i\ne j$

• Paulio matricos turi tokias komutatyvumo ir nekomutatyvumo savybes:

$\begin{array}{ccc}[{\sigma }_i,{\sigma }_j]& =& 2i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k\\ \{{\sigma }_i,{\sigma }_j\}& =& 2{\delta }_{ij}\cdot I\end{array}$

Kvadratiniai skliausteliai žymi komutatorių ($[a,b]=ab-ba$), riestiniai skliausteliai - antikomutatorių ($\{a,b\}=ab+ba$). Čia $a$ ir $b$ yra operatoriai.