Trapecija

Vaizdas:Trapecija.png

1 pav. Įvairiakraštė trapecija

Trapecija (Šablonas:Gr – staliukas) – keturkampis, kurio dvi priešingosios kraštinės lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės gali būti nelygiagrečios. Lygiagrečios kraštinės vadinamos trapecijos pagrindais, kitos dvi kraštinės – šoninėmis kraštinėmis. 1 pav. pavaizduotos trapecijos kraštinės BC ir AD – trapecijos pagrindai, AB ir CD – trapecijos šoninės kraštinės. Iš taškų B ir C nuleisti statmenys BK ir CL vadinami trapecijos aukštine. atkarpa, kuri jungia šoninių kraštinių vidurio taškus, vadinama trapecijos vidurio linija. 1 pav. pavaizduotos trapecijos vidurio linija yra EF.

Aplink trapeciją apibrėžti apskritimą galima tik tada, jeigu ji yra lygiašonė.

Trapecijų rūšys

Lygiašonė trapecija

Vaizdas:Trapeclygiason.png

2 pav. Lygiašonė trapecija

Trapecija, kurios šoninės kraštinės lygios, vadinama lygiašonė. 2 pav. pavaizduota trapecija ABCD yra lygiašonė, nes AB=CD. Lygiašonės trapecijos kampai prie kiekvieno iš pagrindų yra lygūs: $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }D,\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C$

$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B=180$ laipsnių. $\mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }D=180$ laipsnių.

Jeigu į lygiašonę trapeciją galima įbrėžti apskritimą, tai jos aukštinė h yra lygi pagrindų a ir b geometriniam vidurkiui:

$h=\sqrt{ab}$

Stačioji trapecija

Trapecija, kurios viena šoninė kraštinė statmena pagrindui, vadinama stačiąja. 3 pav. pavaizduota stačioji trapecija ABCD, kurios $BA\perp AD$

Vaizdas:Staciojtrapec.png

3 pav. Stačioji trapecija

Trapecijos savybės

• Keturkampis yra trapecija tada ir tik tada, jei yra bent viena pora greta esančių kampų, kurių suma lygi 180°.
• Kita būtina ir pakankama sąlyga yra jog įstrižainės dalija viena kitą tuo pačiu santykiu. Šis santykis toks pats kaip ir tarp pagrindų ilgių.
• Linija, išvesta per šoninių kraštinių vidurio taškus (vidurinė linija), yra lygiagreti pagrindams. Jos ilgis yra pagrindų ilgių aritmetinis vidurkis.

Trapecijos elementų žymėjimas

4 pav. pavaizduoti visi pagrindiniai trapecijos elementai. AB=b, DC=a – trapecijos ABCD pagrindai; DA=d, BC=c – trapecijos šoninės kraštinės; GH=m – trapecijos vidurio linija; EF – atkarpa, einanti per įstrižainių susikirtimo tašką ir lygiagreti pagrindams; AK=h – aukštinė; BD=$d_1$,AC=$d_2$ – trapecijos įstrižainės; φ – kampas tarp įstrižainių.

Vaizdas:Trapeczymejimas.png

4 pav. Trapecijos elementai

Trapecijos vidurio linija, perimetras, plotas

Pastaba: Visos žemiau pateiktos formulės remiasi 4 pav. žymėjimais (žr. Trapecijos elementų žymėjimas).
Trapecijos vidurinė linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų sumos pusei:

$m\Vert a$, $m\Vert b$; $m=\frac{a+b}{2}$

Trapecijos įstrižainių radimas:

$d_1=\sqrt{ab+\frac{d^{2}a-c^{2}b}{a-b}}$; $d_2=\sqrt{ab+\frac{c^{2}a-d^{2}b}{a-b}}$

Atkarpos lygiagrečios pagrindams ir einančios per įstrižainių susikirtimo tašką radimas:

$EF=\frac{2ab}{a+b}$

Trapecijos perimetras ir pusperimetris:

$P=a+b+c+d$; $p=\frac{a+b+c+d}{2}$

Trapecijos plotas lygus vidurinės linijos ir aukštinės sandaugai:

$S=mh$,

Trapecijos plotas lygus jos pagrindų sumos pusei ir aukštinės sandaugai.

$S=\frac{(a+b)}{2}h$,

čia a ir b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, h – aukštinė. Kitaip tariant (žr. savybes) jis lygus vidurinės linijos ir aukštinės ilgių sandaugai.

Jei aukštinė nežinoma, tačiau žinomi visų kraštinių ilgiai, trapecijos plotą galima rasti pagal formulę

$S=\frac{1}{4}\cdot \frac{a+b}{a-b}\sqrt{a-b+c+d}\sqrt{a-b-c+d}\sqrt{a-b+c-d}\sqrt{-a+b+c+d},$

čia a, b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, c, d – kitų dviejų kraštinių ilgiai.

Trapecijos plotas lygus jos įstrižainių ir sinuso kampo tarp jų pusei:

$S=\frac{1}{2}$$d_1{d}_2$$\sin \phi$

Nuorodos

• Šablonas:MathWorld