Hadamardo vartai

Hadmardo vartai (Šablonas:En) – tai kvantiniai vartai naudojami kvantiniame kompiuteryje, kilę iš Hadamardo transformacijos, skirti, kubitą pervesti į superpozicijos būseną. Hadamardo kvantiniai vartai neturių klasikinių vartų analogų. Hadamardo vartai gali operuoti tik ant vieno kubito, be to kiekvienam kubitui reikia savo atskirų Hadamardo vartų. Kubitas, kurio būsena yra |1>, pereidamas per Hadamardo vartus persikelia į būseną:

$H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩-\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩=|-⟩$.

O |0> pereidamas per Hadamardo vartus pereina į superpozicijos būseną, kuri užrašoma šitaip:

$H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩=|+⟩$.

Šiose būsenose kubitai pereidami dar kartą per Hadamardo vartus grįžta į pradinę būseną:

$H(\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩-\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩)=\frac{1}{2}(|0⟩+|1⟩)-\frac{1}{2}(|0⟩-|1⟩)=|1⟩$;

$H(\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩)=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩-\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩)=|0⟩$.

Skaičiavimai su Hadamardo vartais

Vaizdas:Hadmardgate.PNG

Rezultatas po 2 kubitų perėjimo per Hadamardo vartus

Kartais vietoje 0 rašomas 1, o vietoje 1 rašomas -1:

$|0⟩=|1⟩$;

$|1⟩=|-1⟩$.

Mes taip ir žymėsime. Pirmas (pvz.: 1) nuo viršaus kubitas rašomas pirmu, o antras (pvz:. -1) nuo viršaus antru:

$|1⟩|-1⟩=|1,-1⟩$.

Kai 2 kubitai yra perėję Hadamardo vartus, tai jie turės 4 reikšmes:

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|1⟩+|-1⟩)\frac{1}{\sqrt{2}}(|1⟩-|-1⟩)=\frac{1}{2}(|1,1⟩+|-1,1⟩-|1,-1⟩-|-1,-1⟩)$.

Jei iš paskos šiuos 2 kubitus seka dar vienas kubitas H|-1>, tai bendras kubitų užrašymas atrodys taip:

$\frac{1}{2}(|1,-1⟩+|-1,1⟩-|1,-1⟩-|-1,-1⟩)\frac{1}{\sqrt{2}}(|1⟩-|-1⟩)=$

$=\frac{1}{\sqrt{2^3}}(|1,-1,1⟩+|-1,1,1⟩-|1,-1,1⟩-|-1,-1,1⟩-|1,-1,-1⟩-|-1,1,-1⟩+|1,-1,-1⟩+$

$+|-1,-1,-1⟩)$.

Reikšmės

$⟨\varphi |(c_1|{\psi }_1⟩+c_2|{\psi }_2⟩)=c_1⟨\varphi |{\psi }_1⟩+c_2⟨\varphi |{\psi }_2⟩.$

$(|\psi ⟩⟨\varphi |)|v⟩=|\psi ⟩⟨\varphi |v⟩.$

$H|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(X|\psi ⟩+Z|\psi ⟩)$.

$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$.

$H|\psi ⟩=H\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)=|0⟩$.

$H|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(X\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)+Z\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩))=$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}((\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)+\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩))=|0⟩$.

Kur X yra kvantiniai NOT vartai, o Z yra fazės vartai.

Jei

$|\psi ⟩=a|00⟩+b|10⟩+c|01⟩+d|11⟩$,

tai

$⟨\psi |\psi ⟩=a^2+b^2+c^2+d^2=1$,

Pavyzdžiui,

$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)=\frac{1}{2}(|00⟩+|10⟩-|01⟩-|11⟩)$.

Tada,

$⟨\psi |\psi ⟩=4\cdot (\frac{1}{2}{)}^2=1.$

$⟨\psi |x⟩=\frac{1}{\sqrt{2^n}},$

kur n, kubitų skaičius. Pavyzdžiui, jei n=4, tai:

$⟨\psi |x⟩=\frac{1}{\sqrt{2^4}}=\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}$.

O jei n=2, tai:

$⟨\psi |x⟩=\frac{1}{\sqrt{2^2}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$.

$⟨x|x⟩=1$.

$⟨x|y⟩=⟨y|x⟩=0$.

Kur naudojami Hadamardo vartai?

Hadamardo vartai naudojami:

• Doičo-Džozo algoritme,
• Groverio algoritme.

Kiti kvantiniai vartai

• Hadamardo vartai
• CNOT vartai
• Kvantiniai NOT vartai
• Fazės vartai
• Tofolio vartai

Nuorodos

• Paaiškinimas kodėl 1 (arba 0) praėjęs du kartus per Hadamardo vartus vėl tampa 1 (arba 0). Video.