Mišrioji sandauga

Mišrioji vektorių sandauga – trinarė vektorių operacija, kurios rezultatas yra dviejų vektorių a ir b vektorinės sandaugos ir trečiojo vektoriaus c skaliarinė sandauga.

Apibrėžimas

Mišriąją trijų vektorių sandaugą gauname, kai du vektorius sudauginame vektoriškai, o po to rezultatą dauginame iš trečiojo vektoriaus skaliariškai. Dažniausiai mišrioji sandauga yra užrašoma (a × b)·c. Mišriosios sandaugos rezultatas yra skaičius.

Mišriosios sandaugos skaičiavimas

Tegu vektorių a, b ir c koordinatės yra (a_x, a_y, a_z), (b_x, b_y, b_z) ir (c_x, c_y, c_z). Tada mišriąją šių vektorių sandaugą patogu apskaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą, kurį sudaro vektorių koordinatės, t.y

$(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|$

Geometrinė mišriosios sandaugos modulio prasmė yra gretasienio, kurio trys kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais a, b ir c, tūrį.

Pavyzdys: Raskime gretasienio, kurį sudaro vektoriai a = (1; 0; 0), b = (1; 1; 0) ir c = (1; 1; 1), tūrį.

Sprendimas: Raskime vektorių mišriąją sandaugą:

$V=|(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=1$

Matome, kad tokio gretasienio tūris yra lygus 1.

Savybės

Mišrioji sandauga tenkina šias savybes:

1. $(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜=(𝐛\times 𝐜)\cdot 𝐚=(𝐜\times 𝐚)\cdot 𝐛=-(𝐜\times 𝐛)\cdot 𝐚=-(𝐛\times 𝐚)\cdot 𝐜=-(𝐚\times 𝐜)\cdot 𝐛$;
2. Jeigu vektoriai a, b ir c yra vienoje plokštumoje (t.y komplanarūs), tai jų mišrioji sandauga $(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜=0$
3. Jeigu vektoriai a, b ir c sudaro dešininį trejetą, tai jų mišrioji sandauga $(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜>0$
4. Jeigu vektoriai a, b ir c sudaro kairinį trejetą, tai jų mišrioji sandauga $(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜<0$

Taikymai

Naudojant mišriąją sandaugą galima rasti ne tik gretasienio, tačiau ir piramidės tūrį. Trikampės piramidės, kurios tris kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais a, b ir c, tūrio V_3p skaičiavimo formulė yra:

$V_{3p}=\frac{1}{6}|(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜|$

Tarkime, turime keturkampę piramidę EABDC, kurios pagrindą ABCD sudaro vektoriai AB = a ir AD = b, o šoninė kraštinė AE = c. Šios piramidės tūrio V_4p skaičiavimo formulė yra:

$V_{4p}=\frac{1}{3}|(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜|$

Kiekvienos iš šių figūrų aukštinė h, nuleista į pagrindą, kurį sudaro vektoriai a ir b, gali būti apskaičiuota pagal formulę:

$h=\frac{|(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜|}{|𝐚\times 𝐛|}$

Mišrioji sandauga taip pat taikoma trijų vektorių komplanarumui nustatyti. Atskiruoju atveju ji taikoma plokštumos lygčiai gauti.