Trikampio nelygybė

Du trikampio nelygybės pavyzdžiai. Viršutinis brėžinys yra pavyzdys, kai galima pritaikyti griežtą nelygybę, nes visi kampai yra mažesni už 180°. Apatiniame pavyzdyje dviejų kraštinių suma yra lygi trečiajai kraštinei.

Trikampio nelygybė teigia, kad bet kokio trikampio bet kurių dviejų kraštinių ilgių suma yra nemažesnė už trečios kraštinės ilgį. Euklidinėje geometrijoje ir kai kuriose kitose geometrijose tai yra teorema. Euklido geometrijoje dviejų kraštinių ilgių suma yra lygi trečiosios kraštinės ilgiui tada ir tik tada, kai trikampis turi vieną 180° kampą ir du 0° kampus, kaip parodyta apatiniame dešinėje esančio paveikslėlio pavyzdyje.

Normuotoje vektorinėje erdvėje V, trikampio nelygybė yra

$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert \mathrm{\forall }x,y\in V$

t. y. dviejų vektorių sumos norma yra nedidesnė už tų pačių dviejų vektorių normų sumą.

Realiųjų skaičių tiesė yra normuota vektorių erdvė, kurioje norma yra modulis. Taigi, trikampio nelygybė teigia, kad bet kuriems realiesiems skaičiams x ir y galioja nelygybė

$|x+y|\le |x|+|y|.$

Iš atvirkštinės trikampio nelygybės išeina, kad bet kuriems realiesiems skaičiams x ir y galioja ir nelygybė

$|x-y|\ge ||x|-|y||.$

Euklido geometrija

1 pav. Euklido trikampio nelygybės įrodymas Euklidinėje geometrijoje.

Euklidas įrodė trikampio nelygybę atstumams esantiems Euklidinėje geometrijoje, žr. 1 pav. Turimam trikampiui Šablonas:Math, pratęsiant kraštinę Šablonas:Math sudaromas lygiašonis trikampis, kurio kraštinė Šablonas:Math yra Šablonas:Math pratęsimas. Tada teigiama, kad kampas Šablonas:Math yra didesnis negu kampas Šablonas:Math, todėl kraštinė Šablonas:Math yra ilgesnė už kraštinę Šablonas:Math. Kadangi Šablonas:Math, tai Šablonas:Math ir Šablonas:Math ilgių suma yra didesnė už Šablonas:Math ilgį. Šis įrodymas yra pateikiamas Euklido Pradmenų 1-ojoje knygoje, kaip 20-asis teiginys.