Analizinė funkcija

Analizinė funkcija – funkcija, kuri bet kuriame apibrėžimo srities taške gali būti išskleista konverguojančia laipsnine eilute (tai tapatu teiginiui, kad funkcija yra analizinė, jei kiekviename taške gali būti išskleista Teiloro eilute).

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$

Analizinės funkcijos yra be galo daug kartų diferencijuojamos funkcijos. Analizinės funkcijos sąvoka gali būti taikoma tiek realaus, tiek ir kompleksinio kintamojo argumento funkcijoms. Tačiau kompleksinio kintamojo funkcijos atveju analiziškumas reikalauja tenkinti papildomas, taip vadinamas Koši-Rymano sąlygas, todėl tokio tipo funkcijos vadinamos holomorfinėmis funkcijomis.

Kompleksinio kintamojo funkcija $f(z)=u(z)+iv(z)$ (čia $u(z)$ ir $v(z)$ – realiosios kompleksinio argumento funkcijos) yra analizinė, jei tenkinama viena iš sąlygų (visos jos yra ekvivalenčios):

1. Funkcija tenkina Koši-Rymano sąlygą kiekviename taške$z=x+iy$ (analiziškumas Koši-Rymano prasme);
2. Teiloro eilutė konverguoja į $f(z)$ funkciją kiekviename taške (analiziškumas Vejerštraso prasme );
3. Integralas uždaru kontūru $\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz=0$ (analiziškumas Koši prasme)

Analizinių funkcijų teorija sukurta 19 a. iš O. Lui Koši, B. Rymano, K. Vejerštraso darbų.

Savybės

• Aritmetinės savybės

Jei $f(z)$ ir $g(z)$ yra analizinės $G\subset ℂ$, tuomet

1. funkcijos $f(z)\pm g(z)$, $f(z)\cdot g(z)$ ir $f(g(z))$ yra taip pat analizinės $G$.
2. jei $g(z)$ srityje $G$ nelygi nuliui, $\frac{f(z)}{g(z)}$ irgi bus analizinė srityje $G$
3. jei $f^{\prime }(z)$ srityje $G$ nėra lygi nuliui, atvirkštinė funkcija $f^{-1}(z)$ irgi bus analizinė srityje $G$.

• Analizinė funkcija be galo daug kartų diferencijuojama funkcija. Tačiau atvirkštinis teiginys bendru atveju nėra teisingas.

Pavyzdžiai

Polinominės, eksponentinės, trigonometrinės, logaritminės ir daugelis specialiųjų (Beselio, Lagero ir pan.) funkcijų yra analizinės.

Neanalizinių funkcijų pavyzdžiai:

1. Funkcija $f(z)=|z|$ nėra analizinė $ℂ$, kadangi neturi išvestinės taške $z=0$.
2. Funkcija $f(z)=\bar{z}$ nėra analizinė, nes netenkina Koši-Rymano sąlygos.